Question

已知：函數(shù)f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m，（其中θ，m為常數(shù)，0＜θ＜

π

2

）圖象的一個(gè)對稱中心是(

π

4

， 2)．
（I）求θ和m的值；
（II）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（III） 求滿足log

1

2

f(x)＞0的x的取值范圍．

Answer 1

（I）函數(shù)f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m
=

3

sin（2x+θ）+cos（2x+θ）+1+m
=2sin（2x+θ+

π

6

）+m+1
又∵圖象的一個(gè)對稱中心是(

π

4

，2)
∴

π

2

+θ+

π

6

=kπ，且m+1=2
又∵0＜θ＜

π

2

，
∴θ=

π

3

，m=1
（II）由（1）得，函數(shù)的解析式可化為f（x）=2sin（2x+

π

2

）+2=2cos2x+2
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，（k∈Z），
（III）若log

1

2

f(x)＞0
即0＜f（x）＜1
即0＜2cos2x+2＜1
即-1＜cos2x＜-

1

2

即2x∈（2kπ+

2π

3

，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+

4π

3

），（k∈Z），
即x∈（kπ+，kπ+

π

2

）∪（kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

），（k∈Z）．