Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2sinA+2sinB=（$\sqrt{3}$+1）sin（A+B），c=2．
（1）求△ABC的周長；
（2）若△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求C．

Answer 1

分析 （1）由2sinA+2sinB=（$\sqrt{3}$+1）sin（A+B），可得2a+2b=$（\sqrt{3}+1）$c，又c=2，即可得出．
（2）由c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=2²，可得ab=$\frac{\sqrt{3}}{1+cosC}$．又$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入化簡即可得出．

解答 解：（1）∵2sinA+2sinB=（$\sqrt{3}$+1）sin（A+B），∴2a+2b=$（\sqrt{3}+1）$c，又c=2，
∴a+b=$\sqrt{3}$+1．
∴△ABC的周長=a+b+c=$\sqrt{3}$+3．
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=2²，
∴ab=$\frac{\sqrt{3}}{1+cosC}$．
∵$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{1+cosC}$sinC=$\sqrt{3}$，
∴sinC=1+cosC，
又sin²C+cos²C=1，
∴（1+cosC）²+cos²C=1，
cos²C+cosC=0，
∵C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理的應用、三角形面積計算公式、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．