在△ABC中，角A，B，C所列邊分別為a，b，c，且1+
tanA
tanB
=
2c
b
．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=
3
，試判斷bc取得最大值時(shí)△ABC形狀．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)已知式可得cosA=
1
2
，從而求得角A的值．
（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理和基本不等式可得bc≤3，此時(shí)根據(jù)b=c=
3
，又a=
3
，可得，△ABC為等邊三角形
解答：解：（Ⅰ）∵1+
tanA
tanB
=
2c
b
，∴1+
sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，…（2分）
即
sinBcosA+sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，∴
sin(A+B)
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，∴cosA=
1
2
，…（4分）
∵0＜A＜π，∴A=
π
3
．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，且a=
3
，
∴(
3
)2=b2+c2-2bc•
1
2
=b2+c2-bc，∵b2+c2≥2bc，∴3≥2bc-bc，
即bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=
3
時(shí)，bc取得最大值，…（9分），
又a=
3
，故bc取得最大值時(shí)，△ABC為等邊三角形 …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，求出bc≤3，是解題的難點(diǎn)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點(diǎn)，求△ABC的面積及AD的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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