Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當a=-2時，判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，通過a=-2時，求出函數(shù)的導函數(shù)，判斷函數(shù)f（x）的極大值，然后推出函數(shù)的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）通過求解函數(shù)的導函數(shù)，通過：當a≤0，0＜a＜2，a=2，a＞2，分別通過函數(shù)的導數(shù)列表，然后求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域：（0，+∞），
當a=-2時，f′（x）=

1-4x2

2

，
當x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當x∈（

1

2

，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)．
因為f（

1

2

）=-

1

2

-ln2＜0，所以此時在定義域上f（x）＜0，
s所以函數(shù)f（x）零點的個數(shù)為0．；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

(ax-1)(2x-1)

x

，
①當a≤0時，當x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當x∈（

1

2

，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)．
②當0＜a＜2時，
當x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當x∈（

1

2

，

1

a

）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
③當a=2時，f′（x）=

(2x-1)2

x

≥0，對一切x∈（0，+∞）恒成立，當且僅當x=1時f′（x）=0，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）
④當a＞2時，
當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當x∈（

1

a

，

1

2

）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當x∈（

1

2

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
綜上：當a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，

1

2

），單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，+∞）．
當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，

1

2

）和（

1

a

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，

1

a

）．
當a=2時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）
當a＞2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，

1

a

）和（

1

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（

1

a

，

1

2

）．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值，考查分類討論以及計算能力．