Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=2，CC₁=3，

CE

=2

EC1

（1）求點(diǎn)D₁到平面BDE的距離；
（2）求直線A₁B與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）分別以DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面BDE的一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義即可求得結(jié)果；
（2）要求直線A₁B與平面BDE所成角的正弦值，即求

A1B

=(0，4，-3)與平面BDE的一個(gè)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即可．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
D（0，0，0），B（2，4，0），E（0，4，2），D₁（0，0，3），
∴

DB

=(2，4，0)，

DE

=(0，4，2)，

DD1

=（0，0，3）
設(shè)面DBE的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n ⊥ DB n ⊥ DE

⇒

2x+4y=0 4y+2z=0

，
令y=1，則x=-2，z=-2．
  

n

=(-2，1，-2)d=|

DD1 • n

| n |

|=|

(0，0，3)•(-2，1，-2)

3

|=2．
（2）A₁（2，0，3），B（2，4，0），

A1B

=(0，4，-3)
設(shè) 直線A₁B與平面BDE所成的角為θ則sinθ=|cos＜

A1B

，

n

＞|=

| A1B • n |

| A1B || n |

=

10

5×3

=

2

3

．
所以直線A₁B與平面BDE所成角的正弦值為 

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間直角坐標(biāo)系求點(diǎn)到面的距離和直線與平面所成的角，準(zhǔn)確寫出坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．