Question

4．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)在x∈[-π，π]上的單調(diào)減區(qū)間；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若方程g（x）=m在（0，π）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及這兩個(gè)根的和．

Answer 1

分析 （1）由圖象觀察可得A，T，故可求ω=2，由點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）在圖象上，可求φ，從而可求函數(shù)的解析式；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)在x∈[-π，π]上的單調(diào)減區(qū)間；
（3）設(shè)x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，通過(guò)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸，直接求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和．

解答 解：（1）由圖象觀察可知：A=2，T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，故ω=2，
∵點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）在圖象上，
∴2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，
∴可解得：φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜π
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得：x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z
故在x∈[-π，π]上的單調(diào)減區(qū)間為：[-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和y=m（x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）的圖象，
由圖可知，當(dāng)-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2時(shí)，直線y=m與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
∴m的取值范圍為：-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2；
當(dāng)-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，兩根和為$\frac{π}{6}$；當(dāng)-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2時(shí)，兩根和為$\frac{7π}{6}$．
∵方程g（x）=m在（0，π）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，兩根和為$\frac{5π}{12}$；當(dāng)-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2時(shí)，兩根和為$\frac{17π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是�？碱}型，屬于中檔題．