【題目】已知函數(shù)f(x)= +x.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線經(jīng)過點(diǎn)(0,﹣1),求a的值;
(2)是否存在負(fù)整數(shù)a,使函數(shù)f(x)的極大值為正值?若存在,求出所有負(fù)整數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)設(shè)a>0,求證:函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值.
【答案】
(1)解:∵ ,f′(1)=1,f(1)=ae+1
∴函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程為:y﹣(ae+1)=x﹣1,又直線過點(diǎn)(0,﹣1)
∴﹣1﹣(ae+1)=﹣1,解得:a=﹣
(2)解:若a<0,∵ (x≠0),
當(dāng)x∈(﹣∞,0)時(shí),f′(x)>0恒成立,函數(shù)在(﹣∞,0)上無極值;
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0恒成立,函數(shù)在(0,1)上無極值;
在x∈(1,+∞)時(shí),令H(x)=aex(x﹣1)+x2,則H′(x)=(aex+2)x,
∵x∈(1,+∞),∴ex∈(e,+∞,)∵a為負(fù)整數(shù)∴a≤﹣1,∴aex≤ae≤﹣e
∴aex+2<0,∴H′(x)<0,∴H(x)在(1,+∞)上單調(diào)減,
又H(1)=1>0,H(2)=ae2+4≤﹣e2+4<0∴x0∈(1,2),使得H(x0)=0
且1<x<x0時(shí),H′(x)>0,即f′(x)>0;x>x0時(shí),H′(x)<0,即f′(x)<0;
∴f(x)在x0處取得極大值 (*)
又H(x0)=aex0(x0﹣1)+x02=0,∴ 代入(*)得:
,∴不存在負(fù)整數(shù)a滿足條件
(3)解:設(shè)g(x)=aex(x﹣1)+x2,則g′(x)=(aex+2)x,
因?yàn)閍>0,所以,當(dāng)x>0時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x<0時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;故g(x)至多兩個(gè)零點(diǎn).
又g(0)=﹣a<0,g(1)=1>0,所以存在x1∈(0,1),使g(x1)=0
再由g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增知,
當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)>0,故故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞增;
所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值.
當(dāng)x<0時(shí),ex<1,且x﹣1<0,
所以g(x)=aex(x﹣1)+x2>a(x﹣1)+x2=x2+ax﹣a,
函數(shù)y=x2+ax﹣a是關(guān)于x的二次函數(shù),必存在負(fù)實(shí)數(shù)t,使g(t)>0,又g(0)=﹣a<0,
故在(t,0)上存在x2,使g(x2)=0,
再由g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減知,
當(dāng)x∈(﹣∞,x2)時(shí),g(x)>0,故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(x2,0)時(shí),g(x)<0,故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞減;
所以函數(shù)f(x)在x2處取得極大值.
綜上,函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值
【解析】(1)第一步確定切點(diǎn);第二步求斜率,即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù);第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程.(2)根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)極值的定義,找到極值點(diǎn),求出極值,當(dāng)極大值為正數(shù)時(shí),從而判定負(fù)整數(shù)是否存在;(3)利用單調(diào)性與極值的關(guān)系,求證:既存在極大值,有存在極小值.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y軸的距離的差等于1.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求·的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 , 的夾角為120°,且| |=2,| |=3,則向量2 +3 在向量2 + 方向上的投影為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1﹣a|x|)+1(a>0),若f(x+a)≤f(x)對(duì)任意的x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸:
抽取順序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
零件尺寸 | 9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
零件尺寸 | 10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計(jì)算得=xi=9.97,s==≈0.212,≈18.439,(xi﹣)(i﹣8.5)=﹣2.78,
其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)
過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地
變大或變小).
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(﹣3s,+3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天
的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
①從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?
、谠(﹣3s,+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的
均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)
附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關(guān)系數(shù)r=,≈0.09.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)3個(gè)班有10名學(xué)生在全國英語能力大賽中獲獎(jiǎng),學(xué)生來源人數(shù)如表:
班別 | 高一(1)班 | 高一(2)班 | 高一(3)班 |
人數(shù) | 3 | 6 | 1 |
若要求從10位同學(xué)中選出兩位同學(xué)介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),設(shè)其中來自高一(1)班的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)常數(shù),函數(shù).
(1) 若,求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2) 若為奇函數(shù),且關(guān)于的不等式對(duì)所有的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3) 當(dāng)時(shí),若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、、,且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】潮州統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分
布直方圖(每個(gè)分組包括左端點(diǎn),不包括右端點(diǎn),如第一組表示收入在)。
(1)求居民月收入在的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系,必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析,則月收入在的這段應(yīng)抽多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年存節(jié)期間,某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),消費(fèi)每超過600 元(含600元),均可抽獎(jiǎng)一次,抽獎(jiǎng)方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種. 方案一:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,一次性摸出3個(gè)球,其中獎(jiǎng)規(guī)則為:若摸到3個(gè)紅球,享受免單優(yōu)惠;若摸到2個(gè)紅球,則打6折;若摸到1個(gè)紅球,則打7折;若沒摸到紅球,則不打折.
方案二:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.
(1)若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了 600元,且均選擇抽獎(jiǎng)方案一,試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率;
(2)若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算.
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