Question

3．已知函數(shù)f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{8}$）[sin（x+$\frac{π}{8}$）-cos（x+$\frac{π}{8}$）]，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x+$\frac{π}{8}$）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$cos2x，根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{8}$）[sin（x+$\frac{π}{8}$）-cos（x+$\frac{π}{8}$）]
=1-2sin²（x+$\frac{π}{8}$）+2sin（x+$\frac{π}{8}$）cos（x+$\frac{π}{8}$）
=cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$cos2x，
∴f（x）的最小正周期T=π．  …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
令g（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∵g（x）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{8}$]上為增函數(shù)，在[-$\frac{π}{8}$，0]上為減函數(shù)，
且g（-$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos（-$\frac{3π}{4}$）=-1，g（-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，g（0）=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=1，
∴g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為-1，
即f（x+$\frac{π}{8}$）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為-1． …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．