Question

設函數(shù)f(x)＝x²－2|x|－1(－3≤x≤3)．

(1)證明f(x)是偶函數(shù)；

(2)指出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間，并說明在各個單調區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；

(3)求函數(shù)的值域．

Answer 1

[解析]　(1)證明：∵定義域關于原點對稱，

f(－x)＝(－x)²－2|－x|－1＝x²－2|x|－1＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．

(2)當x≥0時，f(x)＝x²－2x－1＝(x－1)²－2，

當x<0時，f(x)＝x²＋2x－1＝(x＋1)²－2，

即f(x)＝

根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖像，如圖

函數(shù)f(x)的單調區(qū)間為[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．

f(x)在區(qū)間[－3，－1)，[0,1]上為減函數(shù)，

在[－1,0)，[1,3]上為增函數(shù)．

(3)當x≥0時，函數(shù)f(x)＝(x－1)²－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2.

當x<0時，函數(shù)f(x)＝(x＋1)²－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2.

故函數(shù)f(x)的值域為[－2,2]．