Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在上不單調(diào)，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，記的兩個(gè)零點(diǎn)是

①求a的取值范圍；

②證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)整理得出，結(jié)合研究的區(qū)間，對(duì)的范圍進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不單調(diào)的條件，即既有增區(qū)間，又有減區(qū)間，即在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，得到結(jié)果；

（2）①將函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)解，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果；

②結(jié)合①，求得兩個(gè)零點(diǎn)所屬的區(qū)間，利用不等式的性質(zhì)證得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，可知在上恒成立，

即在上單調(diào)遞增，不合題意，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可知時(shí)，單調(diào)減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，所以滿足在上不單調(diào)，

所以a的取值范圍是；

（2）①令，得，即有兩個(gè)解，

令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，

所以當(dāng)時(shí)，記的兩個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍是；

②由①知，所以，

所以