Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1），兩式相減可得a_n+1與a_n之間的遞推關(guān)系，利用累加法，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）b_n=（2n-1）•${\sqrt{2}}^{2n}$=（2n-1）•2ⁿ，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)考慮利用錯(cuò)位相減求和．

解答 解：（1）在4S_n=（2n-1）a_n+1+1中，令n=1，得a₂=3，
∵4S_n=（2n-1）a_n+1+1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=（2n-1）a_n+1，
兩式相減，得：4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n（n≥2）⇒$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{2n+1}{2n-1}（n≥2）$
${a_n}=\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_{n-2}}}}•\frac{{{a_{n-2}}}}{{{a_{n-3}}}}…\frac{a_3}{a_2}•\frac{a_2}{a_1}•{a_1}=\frac{2n-1}{2n-3}•\frac{2n-3}{2n-5}•\frac{2n-5}{2n-7}•…•\frac{5}{3}•\frac{3}{1}•1=2n-1$，
故a_n=2n-1；
（2）由（1）可得b_n=（2n-1）•${\sqrt{2}}^{2n}$=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式，通項(xiàng)公式的應(yīng)用及錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，具有一定的綜合性．