設(shè)F1、F2分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，M，N分別為其短釉的兩個端點，且四邊形MF1NF2的周長為4設(shè)過F1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AB|=．
（1）求|AF2|•|BF2|的最大值；
（2）若直線l的傾斜角為45°，求△ABF2的面積．

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義，結(jié)合四邊形的周長，及|AB|的長，利用基本不等式，即可求|AF2|•|BF2|的最大值；
（2）設(shè)出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及|AB|的長，求出直線方程，即可求△ABF2的面積．
解答：解：（1）∵四邊形MF1NF2為菱形，周長為4，∴a=1
由橢圓的定義可知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4，
∵|AB|=，∴|AF2|+|BF2|=
∴|AF2|•|BF2|≤=
當(dāng)且僅當(dāng)|AF2|=|BF2|=時，等號成立，即|AF2|•|BF2|的最大值為；
（2）∵直線l的傾斜角為45°，∴可設(shè)l的方程為y=x+c，其中
由（1）知橢圓E的方程為
直線方程代入橢圓方程，化簡可得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=
∵|AB|=|x1-x2|=
∴=
∴
∴c=
∴l(xiāng)的方程為
∴F2到l的距離d=1
∴
點評：本題考查橢圓的定義，考查基本不等式的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦點．
（1）當(dāng)P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8時，求橢圓C的左，右焦點F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知⊙F2的半徑是1，過動點Q的作⊙F2切線QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切點），如圖．求動點Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
9
+y2=1的左、右焦點．
（I）若M是該橢圓上的一個動點，求
mF1
•
MF2
的最大值和最小值；
（II）設(shè)過定點（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
5
+
y2
4
=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左右焦點，過左焦點F1作直線l與橢圓交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的長；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點M，使得
MA
•
MB
為常數(shù)？若存在，求出M點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1且斜率為k的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數(shù)列．
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，設(shè)點P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求橢圓E的方程．

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