Question

（2010•石家莊二模）已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，任意的0＜a＜b，求證：

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a(1+a)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，可先求出f/(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，(x∈(0，+∞))，再解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性確定出函數(shù)的最大值，令最大值小于等于0，即可得到關(guān)于m的不等式，解出m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，任意的0＜a＜b，可先代入函數(shù)的解析式，得出

f(b)-f(a)

b-a

=

lnb-lna+a-b

b-a

=

lnb-lna

b-a

-1=

ln b a

b a -1

•

1

a

-1再由0＜a＜b得出ln

b

a

＜

b

a

-1，代入即可證明出不等式．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，(x∈(0，+∞))
當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…2分
當(dāng)m＞0時(shí)，由f/(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

＞0
則x∈(0，

1

m

)，則f（x）在(0，

1

m

)上單調(diào)遞增，在(

1

m

，+∞)上單調(diào)遞減．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)m≤0時(shí)顯然不成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，f(x)max=f(

1

m

)=ln

1

m

-1+m=m-lnm-1只需m-lnm-1≤0即　….6分
令g（x）=x-lnx-1，
則g/(x)=1-

1

x

，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴g（x）_min=g（1）=0．則若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分
（Ⅲ）

f(b)-f(a)

b-a

=

lnb-lna+a-b

b-a

=

lnb-lna

b-a

-1=

ln b a

b a -1

•

1

a

-1
由0＜a＜b得

b

a

＞1，
由（Ⅱ）得：ln

b

a

＜

b

a

-1，則

ln b a

b a -1

•

1

a

-1＜

1

a

-1=

1-a

a

=

1-a2

a(1+a)

＜

1

a(1+a)

，
則原不等式

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a(1+a)

成立．…12分

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究函數(shù)的最值，及不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化的思想及推理判斷的能力，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，對問題進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，熟練掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是解題的重點(diǎn)，正確轉(zhuǎn)化問題是解題的難點(diǎn)．