Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論后分別解出f′（x）＞0與f′（x）<0的解集，從而得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）＝（k-1）lnx+x，x＞1，求導(dǎo)后令導(dǎo)函數(shù)的分子為h(x)，研究h（x）的正負(fù)得到g(x)的單調(diào)性與極值、最值，可得滿足條件的k的取值范圍；

（1）由題可知

①當(dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立 ，在遞增 .

②當(dāng)時(shí)，令解得;令解得.

在遞減，在遞增.

（2）原不等式等價(jià)變形為恒成立.

令則

令

①當(dāng)時(shí)，此時(shí)的對(duì)稱軸：

在遞增.又在恒成立.

在恒成立，即在遞增..

符合要求.

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)在有一根，設(shè)為

當(dāng)時(shí)，即.在上遞減.

.這與恒成立矛盾.

綜合①②可得:.