Question

8．定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上遞增且f（$\frac{1}{2}$）=0，則滿足f（log${\;}_{\frac{1}{9}}$x）＞0的x的集合為（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)便得，f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，再由$f（\frac{1}{2}）=0$，從而可得f（x）＞0的解集為（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

解答 解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增；
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，
再由$f（\frac{1}{2}）=0$，從而可得f（x）＞0的解集為（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
∴由$f（lo{g}_{\frac{1}{9}}x）＞0$得：${log}_{\frac{1}{9}}x$∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
∴x∈（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3），
∴原不等式的解集為（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3）．
故答案為：（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)的單調(diào)性特點，增函數(shù)的定義，以及指數(shù)式和對數(shù)式的運算，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)中的真數(shù)大于0．