Question

20．已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l與曲線C：ρ=-2cosθ相切，求a的值；
（Ⅱ） 求f（x）的在（0，1]上的最大值．（本題極點在坐標(biāo)原點，極軸為X軸）

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C：ρ=-2cosθ化為直角坐標(biāo)方程，求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l與曲線C：ρ=-2cosθ相切，建立方程，即可求a的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的在（0，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C：（x-1）²+y²=1，
$f'（x）=\frac{1}{x}-a∴f'（1）=1-a，f（1）=-a$
所以切線為（1-a）x-y-1=0
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l與曲線C：ρ=-2cosθ相切，
所以$\frac{|a|}{{\sqrt{{{（1-a）}^2}+1}}}=1⇒a=1$；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}（x＞0）$
①當(dāng)$\frac{1}{a}≥1$，即0＜a≤1時，f'（x）＜0在（0，1）恒成立，f（x）_max=f（1）=-a
②當(dāng)$\frac{1}{a}＜1$，即a＞1時，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$增，在$（\frac{1}{a}，1）$減，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{a}）=-lna-1$

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考察直線與圓的位置關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最大值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．