Question

15．成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2，5，13后成為等比數(shù)列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：數(shù)列{S_n+$\frac{5}{4}$}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d，a，a+d，則a-d+a+a+d=15，解得a=5．根據(jù)這三個數(shù)分別加上2，5，13后成為等比數(shù)列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．可得（5+5）²=（5-d+2）（5+d+13），解得：d=2．可得b₁與公比q．l利用求和公式可得S_n，即可證明．

解答 證明：設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d，a，a+d，則a-d+a+a+d=15，解得a=5．
∵這三個數(shù)分別加上2，5，13后成為等比數(shù)列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．
∴（5+5）²=（5-d+2）（5+d+13），解得：d=-13（舍去），或2．
∴d=2時，b₃=5，b₄=10，b₅=20．可得公比q=$\frac{10}{5}$=2．
$_{1}×{2}^{2}$=5，解得b₁=$\frac{5}{4}$．
∴S_n=$\frac{\frac{5}{4}（{2}^{n}-1）}{2-1}$=5×2^n-2-$\frac{5}{4}$，
∴S_n+$\frac{5}{4}$=5×2^n-2，
∴數(shù)列{S_n+$\frac{5}{4}$}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．