Question

4．已知f'（x）是函數(shù)f（x）（x∈R且x≠0）的導函數(shù)，當x＞0時，xf'（x）-f（x）＜0，記a=$\frac{{f（{{2^{0.2}}}）}}{{{2^{0.2}}}}，b=\frac{{f（{{{0.2}^2}}）}}{{{{0.2}^2}}}，c=\frac{{f（{{{log}_2}5}）}}{{{{log}_2}5}}$，則（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性以及數(shù)的大小比較判斷即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0時，xf'（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
g（x）在（0，+∞）遞減，
∵2^0.2＞2⁰=1，0.2²═0.04，log₂5＞log₂4=2，
故g（log₂5）＜g（2^0.2）＜g（0.2²），
即c＜a＜b，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及導數(shù)、指數(shù)的大小比較，是一道中檔題．