Question

已知函數(shù)f(x)=x3-

3

2

x2-6x-2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f(x)=

1

2

b2-b有三個不同的實數(shù)解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f(x)=x3-

3

2

x2-6x-2的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，解得極值點，極值點把實數(shù)分成幾個區(qū)間，列表討論導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間上的正負(fù)，導(dǎo)數(shù)為正時得到的x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)為負(fù)時得到的x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（2）由（1）可求出函數(shù)的極大值和極小值分別為

3

2

和-12，要使函數(shù)f(x)=

1

2

b2-b有三個不同的實數(shù)解，只需函數(shù)f（x）圖象與y=

1

2

b2-b圖象有三個不同的交點，所以

1

2

b2-b必須介于f（x）的極大值與極小值之間，這樣就得到關(guān)于b的不等式，解不等式，求出b的范圍即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3x-6，令f′（x）=0及x=-1或x=2
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值 3 2	遞減	極小值-12	遞增

故f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-1），（2，+∞），f（x）的遞減區(qū)間是（-1，2）．
（2）由（1）知，f（x）的極大值f(-1)=

3

2

，極小值f（2）=-12，則f(x)=

1

2

b2-b
有三個不同的實數(shù)解等價于-12＜

1

2

b2-b＜

3

2

，
解得-1＜b＜3．
即b的取值范圍是（-1，3）．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，以及根據(jù)極值判斷方程的解的個數(shù)的問題．