Question

3．已知函數f（x）=ln（|x|+1）+$\sqrt{{x^2}+1}$，則使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{1，+∞}）$
• C． （1，+∞）
• D． $（{-∞，\frac{1}{3}}）$

Answer 1

分析 判斷函數f（x）是定義域R上的偶函數，且在x≥0時單調遞增，
把不等式f（x）＞f（2x-1）轉化為|x|＞|2x-1|，求出解集即可．

解答 解：∵函數f（x）=ln（|x|+1）+$\sqrt{{x^2}+1}$為定義域R上的偶函數，
且在x≥0時，函數單調遞增，
∴f（x）＞f（2x-1）等價為f（|x|）＞f（|2x-1|），
即|x|＞|2x-1|，
兩邊平方得x²＞（2x-1）²，
即3x²-4x+1＜0，
解得$\frac{1}{3}$＜x＜1；
∴使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，1）．
故選：A．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，也考查了轉化思想的應用問題，是綜合性題目．