Question

已知函數(shù)f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值及f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）求f（x）在x∈[-1，2]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，代入函數(shù)中，即可求得求a的值及f（x）的解析式；
（2）先判斷f（x）在R上是增函數(shù)，再用定義法證明即可；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，可求f（x）在x∈[-1，2]上的最大值及最小值．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（0）=0  
∴f(0)=

a•+a-2

1+1

∴a=1         …（3分）
∴f(x)=

2x-1

2x+1

…（4分）
（2）f（x）在R上是增函數(shù)
證明：∵f(x)=1-

2

2x+1

設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

（7分）
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2
∴

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函數(shù)．                                   …（9分）
（3）由（2）知，f（x）在[-1，2]上是增函數(shù)                           …（10分）
∴f（x）在[-1，2]上的最小值為f（-1）=-

1

3

，最大值為f（2）=

3

5

          …（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值，是解答這道題的關(guān)鍵．