Question

10．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（2，3），漸進(jìn)線方程為y=±$\sqrt{3}$x，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　�。�

• A． $\frac{{7{x^2}}}{16}-\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{2}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{{3{y^2}}}{23}-\frac{x^2}{23}=1$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可以設(shè)其方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=λ，將點(diǎn)（2，3）代入其中可得$\frac{{3}^{2}}{3}$-2²=λ，解可得λ的值，變形即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的漸進(jìn)線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
則可以設(shè)其方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=λ，（λ≠0）
又由其過(guò)點(diǎn)（2，3），則有$\frac{{3}^{2}}{3}$-2²=λ，
解可得：λ=-1，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是由漸近線方程設(shè)出雙曲線的方程．