Question

12．定義平面上兩條相交直線的夾角為：兩條相交直線交成的不超過90°的正角．已知雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），當其離心率$e∈[\sqrt{2}，2]$時，對應雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為（　�。�

• A． $[0，\frac{π}{6}]$
• B． $[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$
• C． $[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$
• D． $[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$

Answer 1

分析 討論離心率e=$\sqrt{2}$，求得雙曲線的漸近線方程y=±x，可得漸近線的夾角；當離心率e∈（$\sqrt{2}$，2]時，運用離心率公式和a，b，c的關系，可得$\frac{a}$的范圍，再由兩直線的夾角公式，結合對勾函數(shù)的單調性，即可得到所求夾角范圍．

解答 解：當離心率e=$\sqrt{2}$及$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
即有b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=a，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±x，
則雙曲線的漸近線的夾角為$\frac{π}{2}$；
當離心率e∈（$\sqrt{2}$，2]時，即有$\frac{c}{a}$∈（$\sqrt{2}$，2]，
即為$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$∈（$\sqrt{2}$，2]，
化簡可得$\frac{a}$∈（1，$\sqrt{3}$]，
又雙曲線的漸近線的夾角的正切為|$\frac{\frac{2b}{a}}{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$|，
令t=$\frac{a}$∈（1，$\sqrt{3}$]，可得f（t）=|$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$|=|$\frac{2}{\frac{1}{t}-t}$|=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
由f（t）在（1，$\sqrt{3}$]遞減，可得f（t）≥$\sqrt{3}$，
可得夾角的取值范圍為[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
綜上可得對應雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的漸近線的夾角的范圍，注意運用分類討論思想方法，以及雙曲線的離心率公式，構造函數(shù)法，運用單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．