Question

7．已知函數(shù)$f（x）=2cos（{ωx+φ}）-1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{8}}）$，其圖象與直線y=1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{4}{3}π$，若f（x）＞0對$x∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{4}}）$恒成立，則φ的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\frac{π}{12}，0}]$
• B． $（{-\frac{π}{8}，-\frac{π}{24}}]$
• C． $[-\frac{π}{12}，\frac{π}{8}）$
• D． $[{0，\frac{π}{12}}]$

Answer 1

分析 利用余弦函數(shù)的周期性求得ω，結(jié)合題意求得cos（$\frac{3}{2}$x+φ）＞$\frac{1}{2}$，結(jié)合$\frac{3}{2}$x+φ∈（-$\frac{3π}{16}$+φ，$\frac{3π}{8}$+φ），可得-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{3π}{16}$+φ，且$\frac{3π}{8}$+φ≤$\frac{π}{3}$，由此求得φ的取值范圍，綜合得出結(jié)論．

解答 解：令f（x）=1，求得cos（ωx+φ）=1，
∵函數(shù)$f（x）=2cos（{ωx+φ}）-1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{8}}）$，其圖象與直線y=1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{4}{3}π$，
故函數(shù)f（x）的最下正周期為$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，∴ω=$\frac{3}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{3}{2}$x+φ）．
若f（x）＞0對$x∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{4}}）$恒成立，即cos（$\frac{3}{2}$x+φ）＞$\frac{1}{2}$．
又當(dāng)x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$）時(shí)，$\frac{3}{2}$x+φ∈（-$\frac{3π}{16}$+φ，$\frac{3π}{8}$+φ），
∴-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{3π}{16}$+φ，且$\frac{3π}{8}$+φ≤$\frac{π}{3}$，∴-$\frac{7π}{48}$≤φ≤-$\frac{π}{24}$．
綜合可得，-$\frac{π}{8}$＜φ≤-$\frac{π}{24}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．