Question

已知（1-2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹+a₁₀x¹⁰則10a₁+9a₂+…+a₁₀=________．

Answer 1

-20
分析：通過對等式中的x賦值0得到常數(shù)項(xiàng)，令x=1得到各項(xiàng)系數(shù)和；對二項(xiàng)展開式求導(dǎo)數(shù)，對求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)中的x賦值1得到令一組系數(shù)和，兩式相減得到值．
解答：（1-2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹+a₁₀x¹⁰
令x=0，得a₀=1
令x=1，得a₀+a₁+a₂+…+a₉+a₁₀=1
即a₁+a₂+…+a₉+a₁₀=0，兩邊同乘以11，得
11a₁+11a₂+…+11a₉+11a₁₀=0①
對（1-2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹+a₁₀x¹⁰求導(dǎo)，
得10×（-2）（1-2x）⁹=a₁+2a₂x+…9a₉x⁸+10a₁₀x⁹
令x=1，得a₁+2a₂+…+9a₉+10a₁₀=20②
①-②得
10a₁+9a₂+…+2a₉+a₁₀=-20
故答案為-20
點(diǎn)評：本題考查通過賦值求常數(shù)項(xiàng)、通過賦值求展開式的系數(shù)和．