Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a+acosβ}\\{y=asinβ}\end{array}\right.$（a＞0，β為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）若曲線C與l只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）A，B為曲線C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求△OAB的面積最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)sin²β+cos²β=1消去β為參數(shù)可得曲線C的普通方程，根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，直線l的極坐標(biāo)方程化為普通方程，曲線C與l只有一個(gè)公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離等于半徑，可得a的值．
（Ⅱ）利用極坐標(biāo)方程的幾何意義求解即可．

解答 （Ⅰ）曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；
直線l的直角坐標(biāo)方程為$x+\sqrt{3}y-3=0$
由直線l與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則可得$\frac{|a-3|}{2}=a$
解得：a=-3（舍）或a=1
所以：a=1．
（Ⅱ）由題意，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ（a＞0）
設(shè)A的極角為θ，B的極角為$θ+\frac{π}{3}$
則：${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|OB|•|OA|Sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}|2acosθ|•|2acos（θ+\frac{π}{3}）|$=$\sqrt{3}{a}^{2}|cosθ•cos（θ+\frac{π}{3}）|$
∵cos$θ•cos（θ+\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}cos（2θ+\frac{π}{3}）+\frac{1}{4}$
所以當(dāng)$θ=-\frac{π}{6}$時(shí)，$\frac{1}{2}cos（2θ+\frac{π}{3}）+\frac{1}{4}$取得最大值$\frac{3}{4}$
∴△OAB的面積最大值為$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$．
解法二：因?yàn)榍�線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓，且$∠AOB=\frac{π}{3}$
由正弦定理得：$\frac{|AB|}{sin\frac{π}{3}}=2a$，所以|AB=$\sqrt{3}a$
由余弦定理得：|AB²=3a²=|0A|²+|OB|²-|OA||OB|≥|OA||OB|
則：${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|OB|•|OA|Sin\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{2}$×$3{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$．
∴△OAB的面積最大值為$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及應(yīng)用，屬于中檔題