Question

12．如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF$\stackrel{∥}{=}$2CE，G是線段BF上一點，AB=AF=BC．
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求$\frac{BG}{BF}$的值；
（Ⅱ）求二面角A-BF-E的大小的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，可得AF⊥AC，則AF⊥平面ABC，得到平面ABF⊥平面ABC，過G作GD⊥AB，垂足為D，則GD⊥平面ABC，連接CD，可證得則四邊形GDCF為平行四邊形，從而得到GD=CE=$\frac{1}{2}AF$，則G為BF的中點，得到$\frac{BG}{BF}$的值；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角E-BF-A的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，
AF⊥AC，∴AF⊥平面ABC，則平面ABF⊥平面ABC，
過G作GD⊥AB，垂足為D，則GD⊥平面ABC，連接CD，
由GD⊥平面ABC，AF⊥平面ABC，AF∥CE，可得GD∥CE，
又EG∥平面ABC，∴EG∥CD，則四邊形GDCF為平行四邊形，
∴GD=CE=$\frac{1}{2}AF$，
∴$\frac{BG}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AF⊥AB，AF⊥BC
∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ABF．
如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．
則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0）是平面ABF的一個法向量．
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則z=-2，x=-2，$\overrightarrow{n}$=（-2，1，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴二面角A-BF-E的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及空間二面角的計算，建立空間直角坐標系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．