Question

【題目】已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC為直徑的圓，再以M為圓心、BM為半徑作圓交x軸交于D、E兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若△CDE的面積為14，求此時(shí)⊙M的方程；
（Ⅱ）試問(wèn)：是否存在一條平行于x軸的定直線與⊙M相切？若存在，求出此直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求 的最大值，并求此時(shí)∠DBE的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得，B（0，2）、M（2t，t2），
∴|BM|= = ；
∴以M為圓心、BM為半徑的圓方程為（x﹣2t）2+（y﹣t2）2=t4+4，
∴其交x軸的弦 ，
∴ ，解得，t=±2，
∴⊙M的方程為（x±4）2+（y﹣4）2=20；
（Ⅱ）假設(shè)存在存在一條平行于x軸的定直線與⊙M相切；
∵ ，yM=t2 ，
∴存在一條平行于x軸的定直線y=﹣1與⊙M相切；
（Ⅲ）在△BDE中，設(shè)∠DBE=θ，且DE為弦，故 ，
由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE邊上的高為2；
由三角形的面積相等得：
，
∴ ；
由余弦定理得，DE2=BD2+BE2﹣2BDBE×cosθ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
故當(dāng) 時(shí)， 的最大值為
【解析】（Ⅰ）由題意求出圓心M的坐標(biāo)、半徑BM的長(zhǎng)度，用t圓方程求交x軸的弦長(zhǎng)，再由△CDE的面積為14求出t．（Ⅱ）先假設(shè)存在一條平行于x軸的定直線與⊙M相切，再利用圓心M到直線的距離等于半徑M，求解．（Ⅲ）對(duì)式子 通分后觀察特點(diǎn)，在△BDE中，設(shè)∠DEB=θ，用三角形的面積相等和余弦定理用θ表示所求的式子，再進(jìn)行整理后由正弦函數(shù)的單調(diào)性求最大值及θ．
【考點(diǎn)精析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．