Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x．對于?x∈[0，1]，f（x）≤1成立，試求實數(shù)a的取值范圍．
f（x）≤1?ax²+x≤1，x∈[0，1]…①
當(dāng)x=0時，a≠0，①式顯然成立；
當(dāng)x∈（0，1]時，①式化為a≤

1

x2

-

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
設(shè)t=

1

x

，則t∈[1，+∞），則有a≤t²-t，所以只須a≤（t²-t）_min=0
⇒a≤0，又a≠0，故a＜0
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題條件是恒成立不等式，通過參變量分離，得到a≤

1

x2

-

1

x

，求出新函數(shù)g（x）=

1

x2

-

1

x

在x∈（0，1]的最小值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）≤1，
∴ax²+x≤1，x∈[0，1]…①
（1）當(dāng)x=0時，a≠0，①式顯然成立；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時，①式化為a≤

1

x2

-

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
設(shè)t=

1

x

，則t∈[1，+∞），則有a≤t²-t，
所以只須a≤（t²-t）_min=0
∴a≤0，
又∵a≠0，
∴a＜0．
故答案為：（-∞，0）．

點評：本題考查的是恒成立問題，考查了參變量分離，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．