Question

關于曲線C：

|x|

5

+

|y|

4

=1，下列四個命題中，所有真命題的組合是（　�。�
①曲線C上的橫、縱坐標的取值范圍分別是-5≤x≤5，-4≤y≤4；
②曲線C關于x軸、y軸都是對稱的，還關于原點對稱；
③設P，Q是曲線C上的任意兩點，則|PQ|≤10恒成立；
④設M（-3，0），N（3，0），P是曲線C上任意的點，則|PM|+|PN|≤10恒成立．

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①②

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：曲線C：

|x|

5

+

|y|

4

=1，分類討論可得圖象如圖所示．
①由

|x|

5

≤1，

|y|

4

≤1，解得-5≤x≤5，-4≤y≤4，即可判斷出；
②把x，y分別換成-x，-y，方程不變，即可得出對稱性；
③設P，Q是曲線C上的任意兩點，取曲線上的兩點（-5，0），（5，0），則|PQ|≤10恒成立；
④根據對稱性只要取P（x，y）是線段

x

5

+

y

4

=1（x∈[0，5]，y∈[0，4]）上的任意一點，求出其最大值即可．由圖可知當且僅當P�。�5，0）時，|PM|+|PN|取得最大值10，即可得出．

解答： 解：曲線C：

|x|

5

+

|y|

4

=1，
①∵

|x|

5

≤1，

|y|

4

≤1，解得-5≤x≤5，-4≤y≤4，曲線C上的橫、縱坐標的取值范圍分別是-5≤x≤5，-4≤y≤4，因此正確；
②把x，y分別換成-x，-y，方程不變，因此曲線C關于x軸、y軸都是對稱的，還關于原點對稱；
③設P，Q是曲線C上的任意兩點，取P（-5，0），Q（5，0），則|PQ|≤10恒成立，正確；
④根據對稱性只要取P（x，y）是線段

x

5

+

y

4

=1（x∈[0，5]，y∈[0，4]）上的任意一點，求出其最大值即可．由圖可知當且僅當P�。�5，0）時，|PM|+|PN|取得最大值10，因此可得：|PM|+|PN|≤10恒成立．
綜上可得：①②③④都正確．
故選：A．

點評：本題考查了函數（直線）的圖象與性質、對稱性、距離，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．