Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；

（2）若f（x）在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；

（3）當(dāng)時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當(dāng)時，直線與曲線的交點在y軸兩側(cè)）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調(diào)性即可得證；

（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實數(shù)解，對求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合題目條件與不等式的放縮，即可得證．

；

令，則恒成立；

，；

的取值范圍是；

（2）證明：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

；

令，；

則；

令，則；

；

；

（3）證明：，，要證明有唯一實數(shù)解；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

即對于任意實數(shù)，一定有解；

；

當(dāng)時，有兩個極值點；

函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

又；

只需，在時恒成立；

只需；

令，其中一個正解是；

，；

單調(diào)遞增，，（1）；

；

；

綜上得證．