Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n=n²+n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用a_n=S_n-S_n-1，（n＞1）公式求解，注意n=1，（2）運(yùn)用裂項(xiàng)法求解，放縮證明．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n=n²+n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n
（2）由（1）知當(dāng)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=2n，
∵a_n+1-a_n=2，
∴b_n=

1

2

×（

1

an

-

1

an+1

），
∴T_n=

1

2

×[

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

]
=

1

2

×（

1

a1

-

1

an+1

）=

1

2

×（

1

2

-

1

2n+2

）=

1

4

-

1

4n+4

＜

1

4

，
∴T_n＜

1

4

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用前n項(xiàng)和公式求解通項(xiàng)，放縮法求解有關(guān)的數(shù)列的n項(xiàng)和，屬于中檔題．