Question

按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為m元，則他的滿意度為

m

m+a

；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價為n元，則他的滿意度為

n

n+a

．如果一個人對兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對這兩種交易的綜合滿意度為

h1h2

．現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為m_Am元和m_B元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h_甲，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h_乙．
（1）求h_甲和h_乙關(guān)于m_A、m_B的表達(dá)式；當(dāng)m_A=

3

5

m_B時，求證：h_甲=h_乙；
（2）設(shè)m_A=

3

5

m_B，當(dāng)m_A、m_B分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）表示出甲和乙的滿意度，整理出最簡形式，在條件m_A=

3

5

m_B時，表示出要證明的相等的兩個式子，得到兩個式子相等．
（2）在上一問表示出的結(jié)果中，整理出關(guān)于變量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出兩個人滿意度最大時的結(jié)果，并且寫出等號成立的條件．

解答： 解：（1）h_甲=

mA mA+12 • mB mB+5

，h_乙=

mA mA+3 • mB mB+20

，m_A∈[3，12]，m_B∈[5，20]…3分
當(dāng)m_A=

3

5

m_B時，h_甲=

mB2 (mB+20)(mB+5)

，h_乙=

mB2 (mB+5)(mB+20)

，
∴h_甲=h_乙…7分
（2）當(dāng)m_A=

3

5

m_B時，h_甲=

mB2 (mB+20)(mB+5)

=

1 100( 1 mB )2+25• 1 mB +1

，
由m_B∈[5，20]得

1

mB

∈[

1

20

，

1

5

]，故當(dāng)

1

mB

=

1

20

，
即m_B=20，m_A=12時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為

10

5

…13分．

點評：本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力．