Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，則S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$）（n∈N^*）=$\frac{n}{2}$-$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 通過(guò)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，計(jì)算可知f（$\frac{i}{n}$）+f（$\frac{n-i}{n}$）=1，利用2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+[f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]+2f（1）計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
∴f（$\frac{i}{n}$）=$\frac{{2}^{\frac{i}{n}}}{{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}}$，f（$\frac{n-i}{n}$）=$\frac{{2}^{\frac{n-i}{n}}}{{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}}$，
∴f（$\frac{i}{n}$）+f（$\frac{n-i}{n}$）=$\frac{{2}^{\frac{i}{n}}}{{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{\frac{n-i}{n}}}{{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}}$
=$\frac{{2}^{\frac{i}{n}}（{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}）+{2}^{\frac{n-i}{n}}（{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}）}{（{2}^{\frac{i}{n}}+\sqrt{2}）（{2}^{\frac{n-i}{n}}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{2+\sqrt{2}•{2}^{\frac{i}{n}}+2+\sqrt{2}•{2}^{\frac{n-i}{n}}}{2+\sqrt{2}（{2}^{\frac{i}{n}}+{2}^{\frac{n-i}{n}}）+2}$
=1，
∴2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$）]
=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+[f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]+2f（1）
=n-1+2•$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$
=n-1+2（2-$\sqrt{2}$）
=n-2$\sqrt{2}$+3，
∴S_n=$\frac{n}{2}$-$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{n}{2}$-$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，利用f（$\frac{i}{n}$）+f（$\frac{n-i}{n}$）=1是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．