Question

已知直線：x-y+3=0，一束光線從點(diǎn)A（1，2）處射向x軸上一點(diǎn)B，又從B點(diǎn)反射到上一點(diǎn)C，最后又從C點(diǎn)反射回A點(diǎn)。
（Ⅰ）試判斷由此得到的△ABC是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)？
（Ⅱ）依你的判斷，認(rèn)為是無(wú)限個(gè)時(shí)求出所有這樣的△ABC的面積中的最小值；認(rèn)為是有限個(gè)時(shí)，求出這樣的線段BC的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖所示，設(shè)B（m，0），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（1，-2）， 點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為B′（-3，m+3）， 根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，點(diǎn)C在直線A′B上，又在直線AB′上。 求得直線A′B的方程為， 由，解得：， ∴直線AB′的方程為， 由，解得：， 則， 化簡(jiǎn)，得，解得：或m=-3， 而當(dāng)m=-3時(shí)，點(diǎn)B在直線上，不能構(gòu)成三角形，故這樣的三角形只有一個(gè)。
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，， ∴線段BC的方程為。