Question

如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）證明：在線段上存在點，使得，并求的值。

                       

Answer 1

解：（I）因為AA₁C₁C為正方形，所以AA₁ ⊥AC.

因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C,且AA₁垂直于這兩個平面的交線AC,

所以AA₁⊥平面ABC.……… 3分

(II)由（I）知AA₁ ⊥AC，AA₁ ⊥AB.  由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.    如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－,則B(0，3，0),A₁(0，0，4),B₁(0，3，4),C₁(4，0，4)，

設(shè)平面A₁BC₁的法向量為，則,即，

令，則，，所以.……… 6分

同理可得，平面BB₁C₁的法向量為,所以.  由題知二面角A₁－BC₁－B₁為銳角，所以二面角A₁－BC₁－B₁的余弦值為.……… 8分

(III)設(shè)D是直線BC1上一點，且. 所以.解得，，.

所以. 

由，即.解得.……… 11分

因為，所以在線段BC₁上存在點D，

使得AD⊥A₁B.

此時，.……… 13分