Question

8．已知命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)m∈[-1，1]恒成立；命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解．若p∧q是假命題，￢p也是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)m∈[-1，1]恒成立，我們易求出P是真命題時，a的取值范圍；由命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解，我們也易求出q為假命題時的a的取值范圍，由p∧q是假命題，￢p也是假命題，得P為真命題，q為假命題，取交集得答案．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+8}$，
∴當m∈[-1，1]時，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)m∈[-1，1]恒成立．
可得：a²-5a-3≥3，∴a≥6或a≤-1，
∴命題p為真命題時a≥6或a≤-1．
命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解．
①當a＞0時，顯然有解；
②當a=0時，2x-1＞0有解；
③當a＜0時，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
從而命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解時a＞-1．
由p∧q是假命題，￢p也是假命題，得P為真命題，q為假命題，
則a≤-1．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，求解本題關鍵是對p條件中恒成立問題的正確轉化以及命題q正確時a的取值范圍的確定，考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．