Question

7．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$，（t為參數），曲線C的普通方程為x²-4x+y²-2y=0，點P的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的極坐標方程；
（2）若將直線l向右平移2個單位得到直線l′，設l′與C相交于A，B兩點，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據直線l的參數方程，消參可得直線l的普通方程，根據曲線C的普通方程，將x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化簡，可得曲線C的極坐標方程；
（2）由題意得l′的普通方程為y=x，所以其極坐標方程為θ=$\frac{π}{4}$，聯(lián)立C的極坐標方程，可得弦長，求出弦心距，可得三角形面積．

解答 解：（1）根據題意，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$，（t為參數）的普通方程為x-y+2=0，…（2分）
曲線C的普通方程為x²-4x+y²-2y=0，極坐標方程為ρ=4cosθ+2sinθ（ρ∈R）…（5分）
（2）將直線l向右平移2個單位得到直線l′，
則l′的普通方程為y=x，
所以其極坐標方程為θ=$\frac{π}{4}$，
代入ρ=4cosθ+2sinθ得：ρ=3$\sqrt{2}$，
故|AB|=3$\sqrt{2}$，
因為OP⊥l′，所以點P到直線l′的距離為2$\sqrt{2}$，
所以△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6…（10分）

點評 本題考查的知識點是簡單曲線的極坐標方程，參數方程與普通方程的互化，三角形面積公式，難度中檔．