Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，若一組斜率為$\frac{1}{4}$的平行直線被橢圓C所截線段的中點均在直線l上，則l的斜率為（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程y=$\frac{1}{4}$x+m，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式求得x=-$\frac{4m}{9}$，與直線l：y=$\frac{1}{4}$x+m，聯(lián)立即可求得直線的方程．求得直線l的斜率．

解答 解：設(shè)弦的中點坐標(biāo)為M（x，y），在直線y=$\frac{1}{4}$x+m上，
設(shè)直線與橢圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得9x²+8mx+16m²-16=0，
△=64m²-4×9×（16m²-16）＞0，解得：-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$＜m＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{8m}{9}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-16}{9}$，∵M(jìn)（x，y）為弦AB的中點，
∴x₁+x₂=2x，
∴-$\frac{8m}{9}$=2x，x=-$\frac{4m}{9}$，
∵m∈（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$），則x∈（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+m}\\{x=-\frac{4m}{9}}\end{array}\right.$，消去m得y=-2x，
則直線l的方程y=-2x，x∈（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
∴直線l的斜率為-2，
故選A．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式，考查計算能力，屬于中檔題．