Question

6．設(shè)a∈R，已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+f′（x），若?x∈[1，3]，有g(shù)（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）題目轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$對(duì)x∈[1，3]恒成立．構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-6x，
a=0時(shí)，f′（x）=-6x，f′（x）＞0，得x＜0，f′（x）＜0，得x＞0；
a＞0時(shí)，f′（x）＞0，得x＞$\frac{2}{a}$或x＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{2}{a}$；
a＜0時(shí)，f′（x）＞0，得$\frac{2}{a}$＜x＜0，f′（x）＜0，得x＜$\frac{2}{a}$或x＞0；
綜上所述：a=0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（$\frac{2}{a}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{2}{a}$）；
a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{2}{a}$，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{2}{a}$），（0，+∞）．
（2）依題意，?x∈[1，3]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
等價(jià)于不等式a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$在x∈[1，3]有解，
令h（x）=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$，（x∈[1，3]），則h′（x）=-$\frac{3{[（x+2）}^{2}+2]}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$＜0，
所以h（x）在區(qū)間[1，3]上是減函數(shù)，所以h（x）的最大值為h（1）=$\frac{9}{4}$，
所以a≤$\frac{9}{4}$，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{9}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．