Question

如圖，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在l的射影為B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁= 2，

求：（1）直線AB分別與平面α，β所成角的大�。�
（2）二面角A₁-AB-B₁的大小。

Answer 1

解：（1）如圖，連接A1B，AB1 ∵，，AA1⊥l，BB1⊥l， ∴AA1⊥β，BB1⊥α 則∠BAB1，∠ABA1分別是AB與α和β所成的角 在Rt△BB1A中，BB1=，AB=2， ∴sin∠BAB1= ∴∠BAB1=45° Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2， ∴sin∠ABA1= ∴∠ABA1=30° 故AB與平面α，β，所成的角分別是45°，30°。 （2）∵BB1⊥α， ∴平面ABB1⊥α 在平面α內過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B 過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角 在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°， ∴AB1=B1B= ∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1， ∴ 在Rt△AA1B中， 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F= ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE= ∴二面角A1-AB-B1的大小為arcsin。