Question

設拋物線y²=8x，O為坐標原點，點A，B是拋物線上的點，
（1）如果OA、OB的斜率分別為

1

2

，-2，求直線AB與x軸的交點坐標；
（2）如果OA⊥OB，求證：直線AB必過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）當OA、OB的斜率分別為

1

2

，-2時，可求出OA、OB的方程，代入拋物線y²=8x中，可求出A，B坐標，進而得出直線AB的方程，再令方程中y=0，就可求直線AB與x軸的交點坐標．
（2）如果OA⊥OB，則OA，OB斜率都存在且互為負倒數(shù)，可設出其中一個斜率為k，則另一個斜率為-

1

k

，這樣，設出兩直線方程，分別于拋物線方程聯(lián)立，解出A，B坐標，再求直線AB方程，看是否經(jīng)過定點．

解答：解：（1）直線OA：y=

1

2

x代入y²=8x解得A（32，16）
直線OB：y=-2x代入y²=8x解得B（2，-4）
∴AB方程為：y+4=

2

3

(x-2)令y=0得x=8
∴直-線AB與x軸的交點為N（8，0）
（2）設AB方程為：y=kx+b，（k存在）
由

y=kx+b y2=8x

消去x得：ky²-8y+8b=0，
（顯然k≠0）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0即

y 2 1 y 2 2

64

+y1y2=0
得y₁y₂=-64
∴

8b

k

=-64即b=-8k
∴AB方程為：y=kx-8k=k（x-8）
∴恒過定點N（8，0）
當k不存在時容易驗證AB方程也過定點N（8，0）

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，掌握其中設而不求的思想．