已知函數(shù)f(x)=x3-mx2+mx(m＞0)，
(Ⅰ)當m=2時，求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(0，0)處的切線方程；
(Ⅱ)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性；
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)既有極大值，又有極小值，且當0≤x≤4m時，f(x)＜mx2+恒成立，求m的取值范圍。
解：(Ⅰ)當m=2時，，
則f′(x)=x2-4x+3，
故f′(0)=3，函數(shù)y=f(x)的圖象在點(0，0)處的切線方程為y=3x；
(Ⅱ)f′(x)=，
當，又m＞0，即時，f′(x)≥0，
則函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)上是增函數(shù)；
當，又m＞0，即時，
由f′(x)＞0，得，
由f′(x)＜0，得，
故函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，
在區(qū)間上是減函數(shù)；
(Ⅲ)因為函數(shù)f(x)既有極大值，又有極小值，
則f′(x)==0有兩個不同的根，
則有Δ=4m2-6m＞0，
又m＞0，∴，
令g(x)=f(x)-，
g′(x)=x2-4mx+3m2=0x=m，或x=3m，
∴g′(x)＞0x＜m或x＞3m，g′(x)＜0m＜x＜3m，
∴g(x)在[0，m)，(3m，4m]上為增函數(shù)，在(m，3m)上為減函數(shù)，
∴，g(3m)=0為g(x)的極值，
又g(0)=0，g(4m)=，
∴g(x)最大值為，
∴，
即m的取值范圍為。
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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