3．實數(shù)a，b，c，d滿足|b-a+4|+（c+d2-3lnd）2=0，則（b-d）2+（a-c）2的最小值是18．

分析 根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{c+hkg2prj^{2}-3lnd=0①}\\{b-a+4=0②}\end{array}\right.$，（a-c）2+（b-d）2是曲線y=-x2+3lnx與直線y=x+4之間的最小距離的平方值，由此求出（a-c）2+（b-d）2的最小值．

解答 解：根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{c+a6qxzgn^{2}-3lnd=0①}\\{b-a+4=0②}\end{array}\right.$，
①中，設c=y，d=x，則y=-x2+3lnx，（x＞0）；
②中，設b=x，a=y，則y=x+4；
∴（a-c）2+（b-d）2是曲線y=-x2+3lnx與直線y=x+4之間的最小距離的平方值；
對曲線y=-x2+3lnx求導，得y'（x）=-2x+$\frac{3}{x}$，
與y=x+4平行的切線斜率k=1=-2x+$\frac{3}{x}$，即2x2+x-3=0；
解得x=1，此時y=-1；
∴切點（1，-1）到直線y=x+4的距離為d=$\frac{6}{\sqrt{2}}$，
∴（a-c）2+（b-d）2的最小值是18．
故答案為18

點評 本題考查了利用導數(shù)的性質(zhì)求最小值的問題，解題的關鍵是把所求的結(jié)論轉(zhuǎn)化為可解答的曲線上的點到直線的最小距離問題，是難題．

練習冊系列答案
相關習題

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13．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜2；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值為a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

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14．偶函數(shù)定義在R上，當x＞0時，f（x）＜xf′（x），且 f（1）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

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11．已知△ABC中，sinA+cosA=$\frac{7}{13}$，則cosA等于（　　）
A．$\frac{12}{13}$B．$\frac{5}{13}$C．-$\frac{5}{13}$D．-$\frac{12}{13}$

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18．若復數(shù)z1=a+2i（a∈R），z2=3-4i，且$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$為純虛數(shù)，則|z1|=$\frac{10}{3}$．

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8．設向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，則關于x的方程$\overrightarrow{a}$x2+$\overrightarrow$x+$\overrightarrow{c}$=0的解的情況是（　　）
A．至少有一個實數(shù)解B．至多只有一個實數(shù)解
C．至多有兩個實數(shù)解D．可能有無數(shù)個實數(shù)解

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4^{2}}$=1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q．
（i）求證$\frac{|OQ|}{|OP|}$=2；
（ii）求△ABQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．函數(shù)f（x）對任何x∈R恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），已知f（8）=3，則f（2）=1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx-2對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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