Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)A（e，f（e））處的切線斜率為3
（1）求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式f（x）-kx+k＞0對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，求k的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）由f（x）=x+xlnx，得k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，由此利用構(gòu)造法結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出整數(shù)k的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)A處的切線斜率為3，
所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，
所以，a=1；
（2）由（1）得：f（x）=x+xlnx，函數(shù)的定義域是（0，+∞），f′（x）=lnx+2，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^-2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e^-2，
故f（x）在（0，e^-2）遞減，在（e^-2，+∞）遞增；
（3）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以，k＜$\frac{f（x）}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立，
即k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立，
令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′（x）=$\frac{x-1}{x}$＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
而h（1）=-1＜0，h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2（1-ln2）＞0，
故存在x₀∈（3，4）使得h（x₀）=0，
所以g（x）在（1，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
而g（3）=$\frac{3（1+ln3）}{2}$＞3，g（4）=$\frac{4（1+2ln2）}{3}$＜4，
故整數(shù)k的最大值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查整數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．