Question

如圖，設AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD．
（Ⅰ）求證：l是⊙O的切線；
（Ⅱ）若⊙O的半徑OA=5，AC=4，求CD的長．

Answer 1

考點：圓的切線的判定定理的證明,與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接OP，由AC與BD都與直線l垂直，得到AC與BD平行，由AB與l不相交得到四邊形ABDC為梯形，又O為AB中點，P為CD中點，所以OP為梯形的中位線，根據(jù)梯形中位線性質(zhì)得到OP與BD平行，從而得到OP與l垂直，而P在圓上，故l為圓的切線；
（Ⅱ）過點A作AE⊥BD，垂足為E，求出BE，利用勾股定理，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）證明：連接OP，因為AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，從而OP⊥l．
因為P在⊙O上，所以l是⊙O的切線．
（Ⅱ）解：由上知OP=

1

2

（AC+BD），
所以BD=2OP-AC=6，
過點A作AE⊥BD，垂足為E，則BE=BD-AC=6-4=2，
在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=4

6

，
∴CD=4

6

．

點評：此題考查了切線的判定，梯形中位線性質(zhì)及直線與圓的位置關系．證明切線時：有點連接圓心與這點，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，是經(jīng)常連接的輔助線．