Question

2．某校高三數(shù)學(xué)備課組為了更好的制定二輪復(fù)習(xí)的計(jì)劃，開展了試卷講評(píng)后效果的調(diào)研，從上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題中選出一些學(xué)生易錯(cuò)題，重新進(jìn)行測試，并認(rèn)為做這些題不出任何錯(cuò)誤的同學(xué)為“過關(guān)”，出了錯(cuò)誤的同學(xué)認(rèn)為“不過關(guān)”．現(xiàn)隨機(jī)抽查了年級(jí)50人，他們的測試成績的頻數(shù)分布如下表：

期末分?jǐn)?shù)段	（0，60）	[60，75）	[75，90）	[90，105）	[105，120）	[120，150]
人數(shù)	5	10	15	10	5	5
“過關(guān)”人數(shù)	1	2	9	7	3	4

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為期末數(shù)學(xué)成績不低于90分與測試“過關(guān)”是否有關(guān)？說明你的理由．

	分?jǐn)?shù)低于90分人數(shù)	分?jǐn)?shù)不低于90分人數(shù)	合計(jì)
過關(guān)人數(shù)	12	14	26
不過關(guān)人數(shù)	18	6	24
合計(jì)	30	20	50

（2）在期末分?jǐn)?shù)段[105，120）的5人中，從中隨機(jī)選3人，記抽取到過關(guān)測試“過關(guān)”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025
k	2.072	2.706	3.841	5.024

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

Answer 1

分析 （1）依題意求出a、b、c、d的值，填寫列聯(lián)表；計(jì)算觀測值K²，對(duì)照數(shù)表得出概率結(jié)論；
（2）求出在期末分?jǐn)?shù)段[105，120）的5人中隨機(jī)選3人，“過關(guān)”人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）依題意得，a=12，b=18，c=14，d=6，
填寫列聯(lián)表如下；

	分?jǐn)?shù)低于9（0分）人數(shù)	分?jǐn)?shù)高于9（0分）人數(shù)	合計(jì)
過關(guān)人數(shù)	12	14	26
不過關(guān)人數(shù)	18	6	24
合計(jì)	30	20	50

計(jì)算觀測值K²=$\frac{50{×（12×16-18×14）}^{2}}{30×20×26×24}$=$\frac{225}{52}$≈4.327＞3.841，
對(duì)照數(shù)表知，有95%的把握認(rèn)為期末數(shù)學(xué)成績不低于90（分）與測試“過關(guān)”有關(guān)；
（2）在期末分?jǐn)?shù)段[105，120）的5人中，有3人 測試“過關(guān)”，
隨機(jī)選3人，抽取到過關(guān)測試“過關(guān)”的人數(shù)為X的可能取值為1、2、3，
則P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$；
所以，X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{6}{10}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{18}{10}$=1.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．