Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）證明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）在棱B₁C₁上是否存在點P，使二面角P-AB-A₁的余弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由頂點在A₁底面ABC上的射影恰為點B，得到A₁B⊥AC，又AB⊥AC，利用線面垂直的判斷定理可得AC⊥面AB₁B，從而可證平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到結論．

解答 （1）證明：∵A₁B⊥面ABC，∴A₁B⊥AC，
又AB⊥AC，AB∩A₁B=B
∴AC⊥面AB₁B，
∵AC?面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）解：如圖，建立以A為原點的空間直角坐標系，
則C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
則$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），
設$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（2λ，-2λ，0），λ∈[0，1]，
則P（2λ，4-2λ，2），
設平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AP}$=（2λ，4-2λ，2），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2λx+（4-2λ）y+2z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-λ），
而平面ABA₁的一個法向量是$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
則|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$，即P為棱B₁C₁的中點．
∴在棱B₁C₁上存在中點P，使二面角P-AB-A₁的余弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題主要考查線面垂直的判斷和性質，以及二面角的應用，建立空間直角坐標系利用向量法是解決本題的關鍵，是中檔題．