Question

4．如圖，過⊙O外一點P作一條割線與⊙O交于C、A兩點，直線PQ切⊙O于點Q，BD為過CA中點F的⊙O的直徑．
（1）已知PC=4，PQ=6，求DF•BF的值；
（2）過D作⊙O的切線交BA的延長線于點E，若CD=$\sqrt{10}$，BC=5，求AE的值．

Answer 1

分析 （1）由切割線定理，可得PQ²=PC•PA，求出PA，計算出CA，可得AF，由相交弦定理，可得DF•BF；
（2）證明BD⊥DE，利用AD⊥AB，可得AD²=AB•AE，即可求AE的值．

解答 解：（1）由切割線定理，可得PQ²=PC•PA，
∴PA=$\frac{P{Q}^{2}}{PC}$=9，
∴CA=PA-PC=5，
∵F是CA的中點，
∴AF=FC=$\frac{5}{2}$．
由相交弦定理，可得DF•BF=AF•FC=$\frac{25}{4}$；
（2）∵BD是直徑，F(xiàn)是AC的中點，
∴AD=CD=$\sqrt{10}$，AB-BC=5．
∵DE是切線，
∴BD⊥DE，
∵AD⊥AB，
∴AD²=AB•AE，
∴AE=$\frac{A{D}^{2}}{AB}$=2．

點評 相交弦定理、切割線定理注意用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明，解決問題時要注意相似三角形與圓周角、弦切角、圓的切線、射影定理等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用．