Question

已知直線x+2y-3=0與圓x²+y²+x-6y+m=0相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：將直線和圓進(jìn)行聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系建立條件方程，即可求出m的值．

解答： j解：由題意設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由方程組

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

，
消y得5x²+10x+4m-27=0，
于是根據(jù)韋達(dá)定理得，x1+x2=-2，x1x2=

4m-27

5

，
y1y2=

1

2

(3-x1)?

1

2

(3-x2)=

1

4

[9-3(x1+x2)+x1x2]=

1

4

[9+6+

4m-27

5

]=

m+12

5

，
∵OP⊥OQ，
∴kOP?kOQ=

y1y2

x1x2

=-1，
故x₁x₂+y₁y₂=0，
從而可得

m+12

5

+

4m-27

5

=0，
解得m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，聯(lián)立方程組利用根與系數(shù)之間的關(guān)系建立條件即可，考查學(xué)生的計(jì)算能力．